School 學校 (CityU)CS5487 - Machine Learning: Principles and Practice11.8Question ZH習題 1.8 多變量高斯分佈的乘積 證明兩個 ddd 維多變量高斯分佈，N(x∣a,A)\mathcal{N}(x|a, A)N(x∣a,A) 和 N(x∣b,B)\mathcal{N}(x|b, B)N(x∣b,B) 的乘積，是一個縮放的多變量高斯分佈， N(x∣a,A)N(x∣b,B)=ZN(x∣c,C),(1.23)\mathcal{N}(x|a, A)\mathcal{N}(x|b, B) = Z\mathcal{N}(x|c, C), \tag{1.23}N(x∣a,A)N(x∣b,B)=ZN(x∣c,C),(1.23) 其中 c=C(A−1a+B−1b),(1.24)c = C(A^{-1}a + B^{-1}b), \tag{1.24}c=C(A−1a+B−1b),(1.24) C=(A−1+B−1)−1,(1.25)C = (A^{-1} + B^{-1})^{-1}, \tag{1.25}C=(A−1+B−1)−1,(1.25) Z=1(2π)d2∣A+B∣12e−12(a−b)T(A+B)−1(a−b)=N(a∣b,A+B).(1.26)Z = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|A+B|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(a-b)^T(A+B)^{-1}(a-b)} = \mathcal{N}(a|b, A+B). \tag{1.26}Z=(2π)2d∣A+B∣211e−21(a−b)T(A+B)−1(a−b)=N(a∣b,A+B).(1.26) 提示：在展開指數項後，應用 習題 1.10 和 (1.35) 的結果。