Skip to main content

Answer ZH

先備知識 (Prerequisites)​

  • 最大概似估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)
  • 對數概似函數 (Log-likelihood)
  • 微積分求導 (Calculus Derivation)

逐步推導 (Step-by-Step Derivation)​

  1. 對於 NN 個獨立同分布 (i.i.d.) 的樣本 {k1,k2,…,kN}\{k_1, k_2, \dots, k_N\}，其概似函數 (likelihood function) L(λ)L(\lambda) 是各自機率質量函數 (PMF) 的乘積： L(λ)=∏i=1Np(x=ki∣λ)=∏i=1N1ki!e−λλkiL(\lambda) = \prod_{i=1}^N p(x = k_i | \lambda) = \prod_{i=1}^N \frac{1}{k_i!}e^{-\lambda}\lambda^{k_i}

  2. 取自然對數得到對數概似函數 (log-likelihood function) l(λ)l(\lambda)。這可以將連乘積化為總和，方便我們進行微積分求導： l(λ)=ln⁡L(λ)=∑i=1Nln⁡(1ki!e−λλki)l(\lambda) = \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^N \ln\left( \frac{1}{k_i!}e^{-\lambda}\lambda^{k_i} \right) l(λ)=∑i=1N(−ln⁡(ki!)−λ+kiln⁡λ)l(\lambda) = \sum_{i=1}^N \left( -\ln(k_i!) - \lambda + k_i \ln\lambda \right) l(λ)=−∑i=1Nln⁡(ki!)−Nλ+(ln⁡λ)∑i=1Nkil(\lambda) = - \sum_{i=1}^N \ln(k_i!) - N\lambda + (\ln\lambda)\sum_{i=1}^N k_i

  3. 為了找出最大概似估計值 (MLE)，將 l(λ)l(\lambda) 對 λ\lambda 偏微分，並將其設為 00： dl(λ)dλ=−N+1λ∑i=1Nki=0\frac{\text{d}l(\lambda)}{\text{d}\lambda} = -N + \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^N k_i = 0

  4. 解出 λ\lambda，即可得到估計式 λ^\hat{\lambda}： N=1λ∑i=1NkiN = \frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^N k_i λ^ML=1N∑i=1Nki\hat{\lambda}_{\text{ML}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N k_i