詳解：泊松分佈的最大似然估計

直覺

最大似然估計 (MLE) 的目標是找到使觀測數據「最有可能」出現的參數值。 想像一下你有一枚硬幣。你拋了 10 次，得到 7 次正面。如果硬幣是公平的 ($p=0.5$)，得到 7 次正面的概率有點低。如果硬幣偏向正面 ($p=0.7$)，概率會更高。MLE 就是要尋找最大化這個概率的 $p$ 值。

在這個問題中，我們觀察落在不同網格單元中的炸彈數量。我們假設這些計數遵循具有某個未知速率 $\lambda$ 的泊松分佈。我們想要找到一個 $\lambda$，使得看到我們觀察到的這些炸彈計數的概率最大。

為什麼使用對數似然？

似然函數涉及將許多概率相乘（因為樣本是獨立的）。 $L(\lambda) = p(k_1|\lambda) \times p(k_2|\lambda) \times \dots \times p(k_N|\lambda)$ 對一個長乘積求導很困難（乘積法則很繁瑣）。 取對數將乘積轉換為求和： $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ $\ell(\lambda) = \ln(p(k_1|\lambda)) + \dots + \ln(p(k_N|\lambda))$ 對求和求導要容易得多（導數的線性性質）。此外，由於對數是一個嚴格遞增函數，最大化 $\ell(\lambda)$ 的 $\lambda$ 與最大化 $L(\lambda)$ 的 $\lambda$ 是同一個。

結果的解釋

結果 $\hat{\lambda} = \frac{1}{N} \sum k_i$ 簡單來說就是樣本均值。 這在直覺上是有道理的：對於泊松分佈，參數 $\lambda$ 代表事件的期望（平均）數量。如果我們想從數據中估計這個平均值，最自然的猜測就是我們觀察到的數據點的平均值。