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Question ZH

問題 2.1 泊松分佈與飛行炸彈​

二戰期間，德國人向倫敦發射了 V-1 和 V-2 飛行炸彈（遠程導彈）。有些地區受到的襲擊比其他地區多，英國軍方有興趣知道這種多次襲擊是由於德國人瞄準特定區域，還是純粹出於偶然。 為了分析這個問題，英國統計學家 R.D. Clarke 將倫敦一個 144 平方公里的區域劃分為規則的網格，形成了 576 個單元。在飛行炸彈隨機落下的假設下，擊中任何單元的機會對於所有單元來說都是恆定的。因此，單元的擊中次數是來自同一個隨機變量 xx 的獨立同分佈 (i.i.d) 樣本。 用於模擬固定時間段內發生的事件（炸彈襲擊）數量的自然分佈是泊松分佈，由下式給出

p(x=k∣λ)=1k!e−λλk(2.1)p(x = k | \lambda) = \frac{1}{k!} e^{-\lambda} \lambda^k \tag{2.1}

其中 k∈{0,1,2,3,⋯ }k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\} 是一個計數。參數 λ\lambda 是事件的平均數量，均值和方差相同 E[x]=var(x)=λ\mathbb{E}[x] = \text{var}(x) = \lambda。

(a) 給定一組獨立同分佈樣本 {k1,⋯ ,kN}\{k_1, \cdots, k_N\}，推導 λ\lambda 的最大似然估計 (MLE)。