問題 2.1 (d)

預備知識

• 泊松概率：$P(X=k) = \frac{e^{-\hat{\lambda}} \hat{\lambda}^k}{k!}$
• 期望計數：$E_k = N \times P(X=k)$，其中 $N=576$。

逐步解答

1. 計算概率： 使用 $\hat{\lambda} \approx 0.9288$ 和 $e^{-\hat{\lambda}} \approx 0.3950$。

   • $k=0$: $P(0) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!} = e^{-0.9288} \approx 0.3950$
   • $k=1$: $P(1) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^1}{1!} = 0.3950 \times 0.9288 \approx 0.3669$
   • $k=2$: $P(2) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^2}{2!} = 0.3669 \times \frac{0.9288}{2} \approx 0.1704$
   • $k=3$: $P(3) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^3}{3!} = 0.1704 \times \frac{0.9288}{3} \approx 0.0527$
   • $k=4$: $P(4) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^4}{4!} = 0.0527 \times \frac{0.9288}{4} \approx 0.0122$
   • $k \ge 5$: $P(\ge 5) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4))$ $= 1 - (0.3950 + 0.3669 + 0.1704 + 0.0527 + 0.0122) = 1 - 0.9972 = 0.0028$

2. 計算期望計數 ($N \times P(k)$)： 使用 $N=576$。

   • $E_0 = 576 \times 0.3950 \approx 227.5$
   • $E_1 = 576 \times 0.3669 \approx 211.3$
   • $E_2 = 576 \times 0.1704 \approx 98.1$
   • $E_3 = 576 \times 0.0527 \approx 30.4$
   • $E_4 = 576 \times 0.0122 \approx 7.0$
   • $E_{5+} = 576 \times 0.0028 \approx 1.6$

   （注：由於四捨五入的精度，數字可能會略有不同）

3. 比較表：

擊中數 ($k$)	觀測值	期望值 ($E_k$)
0	229	227.5
1	211	211.3
2	93	98.1
3	35	30.4
4	7	7.0
5+	1	1.6

1. 結論： 從泊松分佈計算出的期望計數與實際觀測計數非常接近。

   • 觀測到 229 個 0，期望為 227.5
   • 觀測到 211 個 1，期望為 211.3
   • 觀測到 7 個 4，期望為 7.0

   這種強烈的一致性支持了這樣一個假設：炸彈在倫敦上空隨機落下，遵循泊松分佈。沒有統計證據表明德國人瞄準了特定的 144 平方公里區域（或者更確切地說，在這個區域內，他們並沒有有效地比其他單元更多地瞄準特定單元）。擊中的聚集（某些單元多次擊中）完全可以用偶然性來解釋。