Answer ZH

先備知識 (Prerequisites)

• 柏松機率計算 (Poisson Probability Calculation)
• 次數分配期望值 (Expected Value of Frequencies)

逐步推導 (Step-by-Step Derivation)

1. 根據 (c) 部分，我們得出最大概似估計值 $\hat{\lambda} \approx 0.9288$，且單元格總數 $N = 576$。

2. 為了求出恰好命中 $k$ 次的預期單元格數量，我們使用以下公式： $\text{預期單元格數} = N \times p(x = k | \hat{\lambda}) = 576 \times \frac{1}{k!}e^{-\hat{\lambda}}\hat{\lambda}^k$

3. 計算每個 $k$ 的預期機率與預期數量：

   • 當 $k = 0$： $p(x = 0 | 0.9288) = \frac{1}{0!}e^{-0.9288}(0.9288)^0 = e^{-0.9288} \approx 0.3950$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.3950 \approx 227.5$

   • 當 $k = 1$： $p(x = 1 | 0.9288) = \frac{1}{1!}e^{-0.9288}(0.9288)^1 = 0.9288 \times e^{-0.9288} \approx 0.3669$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.3669 \approx 211.3$

   • 當 $k = 2$： $p(x = 2 | 0.9288) = \frac{1}{2!}e^{-0.9288}(0.9288)^2 = \frac{0.8627}{2} \times e^{-0.9288} \approx 0.1704$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.1704 \approx 98.1$

   • 當 $k = 3$： $p(x = 3 | 0.9288) = \frac{1}{3!}e^{-0.9288}(0.9288)^3 = \frac{0.8013}{6} \times e^{-0.9288} \approx 0.0528$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.0528 \approx 30.4$

   • 當 $k = 4$： $p(x = 4 | 0.9288) = \frac{1}{4!}e^{-0.9288}(0.9288)^4 = \frac{0.7442}{24} \times e^{-0.9288} \approx 0.0123$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.0123 \approx 7.1$

   • 當 $k \ge 5$ (5 及以上)： 由於所有機率總和必須為 1，我們可以將其計算為 $1 - \sum_{k=0}^4 p(x=k|\hat{\lambda})$： $p(x \ge 5 | 0.9288) = 1 - (0.3950 + 0.3669 + 0.1704 + 0.0528 + 0.0123) = 1 - 0.9974 = 0.0026$ $\text{預期單元格數} = 576 \times 0.0026 \approx 1.5$

4. 比較表：

命中次數 ($k$)	0	1	2	3	4	5 及以上
觀測數據 (Observed Data)	229	211	93	35	7	1
預期計數 (Expected Counts)	227.5	211.3	98.1	30.4	7.1	1.5

結論 (Conclusion)

在柏松模型推導出的預期計數與實際觀測到的命中數據非常吻合。由於這個柏松分布明確地模擬了在特定空間/時間內發生的隨機、獨立事件，我們可以得出結論：炸彈的命中本質上是隨機且均勻分布的。

德軍極不可能對倫敦特定社區進行有系統或精準的瞄準。那些看似在特定單元格「密集」命中的情況，與純粹偶然 (pure chance) 所預期的結果並無二致。