Explain ZH

詳細解釋

此技術是 凸優化 (Convex Optimization) 中處理絕對值函數 $|x|$ 的標準技巧。絕對值是凸的，但在 $x=0$ 處不可微，這對於某些基於梯度的求解器來說可能很麻煩。

通過去引入兩個非負變量 $u, v \ge 0$ 並設置 $x = u - v$，我們可以表示任何實數。 理想情況下，我們希望 $x=5 \rightarrow u=5, v=0$，而 $x=-3 \rightarrow u=0, v=3$。 然而，表示並不是唯一的。$x=5$ 也可以是 $u=105, v=100$。 在優化問題中，我們正在最小化 和 $u+v$。

• 情況 1 ($u=5, v=0$): 和 = 5。
• 情況 2 ($u=105, v=100$): 和 = 205。 因為我們在最小化，求解器總是會偏好情況 1（不相交的支撐集）。 這確保了在最優點，$u+v = |u-v| = |x|$。

這將不可微的 $|x|$ 項轉換為平滑的線性項 $(u+v)$，並受到簡單的線性約束 ($u,v \ge 0$) 的限制。這對於 QP 求解器來說更容易處理。