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Question ZH

問題 3.8 伯努利分佈 (Bernoulli distribution) 的貝葉斯估計 (Bayesian estimation)

在這個問題中，我們將考慮伯努利隨機變數 (Bernoulli r.v.) 的貝葉斯估計與預測。令 xx 為具有伯努利分佈的隨機變數， p(x∣π)=πx(1−π)1−x,p(x|\pi) = \pi^x (1 - \pi)^{1-x}, 其中 π=P(x=1)\pi = P(x = 1) 是參數。

(a) 令 D={x1,⋯ ,xn}\mathcal{D} = \{x_1, \cdots, x_n\} 為一組樣本 (samples)，證明 p(D∣π)=πs(1−π)n−s,p(\mathcal{D}|\pi) = \pi^s (1 - \pi)^{n-s}, 其中 s=∑i=1nxis = \sum_{i=1}^n x_i 是樣本的總和（充分統計量，sufficient statistic）。