第 4.5 題 飛行炸彈，第二部分 – 混合卜瓦松分佈的 EM 演算法

讓我們重新考慮第 2.1 題，在那裡我們將卜瓦松分佈 (Poisson distribution) 擬合到擊中倫敦不同區域的飛行炸彈數量。如果我們假設德軍確實以特定區域為目標，那麼對於某些方塊（目標），炸彈擊中率 $\lambda$ 會較高，而對其他方塊（非目標）則較低。因此，所有方塊上的分佈應該是一個混合卜瓦松分佈 (mixture of Poissons)，其中每一個卜瓦松分量對應於具有特定擊中率的方塊。當 $K = 2$ 時，這些分量將對應於目標方塊和非目標方塊。當 $K > 2$ 時，一個分量對應於目標擊中率，而其他（非目標）分量則具有擊中率的某種漸變（遠離目標方塊的方塊具有較低的擊中率）。

(a) 考慮混合卜瓦松分佈

$$p(x = k|\theta) = \sum_{j=1}^K \pi_j \frac{1}{k!} e^{-\lambda_j} \lambda_j^k, \tag{4.9}$$

其中 $\lambda_j$ 是第 $j$ 個分量的率參數 (rate parameter)，而 $\theta = \{\lambda_j, \pi_j\}_{j=1}^K$ 是該混合模型的參數。請推導 EM 演算法 (EM algorithm)，以在給定樣本 $X = \{x_1, \cdots, x_n\}$ 的情況下估計模型的參數。M 步 (M-step) 與單一卜瓦松分佈的最大概似估計 (ML estimate)（第 2.1 題）有何關聯？