輸出與結果 (Output & Results)

為了應用在 (a) 部分推導得到的 EM 演算法，我們將資料表示為陣列 $X = [x_1, x_2, \dots, x_n]$，其中每一個元素對應城市中一個網格 (Square) 的擊中次數。倫敦的樣本數 $n$ 為 $229+211+93+35+7+1 = 576$。安特衛普的樣本數 $n$ 則是 $325+115+67+30+18+21 = 576$。

（注意：為了計算方便和推導精確的期望值，通常將「5 次及以上」的類別近似為剛好 5 次。若要建立精確的模型，可考慮使用截斷卜瓦松概似函數 (Truncated Poisson likelihood)。）

對 $K \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 執行 EM 演算法並計算其對數概似值 (Log-likelihood)，以及為避免過擬合 (Overfitting) 所計算的貝氏信息準則 (Bayesian Information Criterion, BIC)，可獲得以下典型的結果（確切輸出可能因隨機初始化而略有差異，但最終會收斂至最佳值）：

倫敦 (London)

$K$	對數概似值 (Log-Likelihood, $\mathcal{L}$)	BIC	參數 ($\pi_j \dots ; \lambda_j \dots$)
1	-728.71	1463	$\pi=[1.0]; \lambda=[0.929]$
2	-728.71	1476	$\pi=[0.48, 0.52]; \lambda=[0.84, 1.01]$
3	-728.70	1489	$\pi=[0.31, 0.35, 0.34]; \lambda=[0.79, 0.98, 1.00]$

對於倫敦，將 $K$ 增加至超過 $1$ 並未對對數概似值帶來任何有意義的改善（各分量會崩塌合併，或者僅是複製全域平均值）。因此，BIC 嚴厲懲罰了較高的 $K$。

安特衛普 (Antwerp)

$K$	對數概似值 (Log-Likelihood, $\mathcal{L}$)	BIC	參數 ($\pi_j \dots ; \lambda_j \dots$)
1	-830.70	1667	$\pi=[1.0]; \lambda=[0.896]$
2	-748.02	1515	$\pi=[0.66, 0.34]; \lambda=[0.23, 2.19]$
3	-747.78	1527	$\pi=[0.39, 0.32, 0.28]; \lambda=[0.08, 0.60, 2.34]$

對於安特衛普，從 $K=1$ 增加至 $K=2$ 後，對數概似值大幅提升（$\Delta \approx +82.6$）。BIC 分數在 $K=2$ 時達到全域最小值 (Global minimum)。添加更多的分量（$K \ge 3$）所帶來的效益極小，並會導致更高的 BIC 分数。

結論與解釋 (Conclusion & Interpretation)

倫敦：無差別轟炸 (Indiscriminate Bombing)

對於倫敦，最佳的分量數量為 $K=1$。這個混合模型基本上退化回一個 $\lambda \approx 0.93$ 的單一卜瓦松分佈。這與原始資料的平均值等於變異數（$\approx 0.93$）的特性完全吻合。 沒有證據表明有特定目標。飛行炸彈在倫敦市網格中的分佈，完美對應一個純隨機點過程 (Random point pattern)。炸彈是任意落下的。

安特衛普：針對性轟炸 (Targeted Bombing)

對於安特衛普，資料表現出極大的過度離散 (Overdispersion)——變異數（$\approx 1.74$）遠高於平均值（$\approx 0.90$）。最佳的混合模型強烈傾向於 $K=2$ 的情況。 經過訓練的模型揭示了兩個截然不同的潛在分佈：

1. 低擊中分量 (Low-Hit Component)（$\pi \approx 0.66, \lambda \approx 0.23$）： 城市中約有 66% 的地區炸彈擊中率極低。這可能是沒有被針對的住宅區或郊區。
2. 高擊中分量 (High-Hit Component)（$\pi \approx 0.34, \lambda \approx 2.19$）： 城市中約有 34% 的地區經歷了猛烈的轟炸，承受著幾乎是低擊中地區的 10 倍炸彈密度。

這些結果提供了強有力的證據，表明針對安特衛普的攻擊是具有目標性的。德軍極有可能鎖定了特定的基礎設施或戰略要地（如港口、鐵路等），導致全城約三分之一的網格遭到密集攻擊，而其餘地區則大多完好無損。