Skip to main content

Question ZH

問題 5.2 核密度估計值的平均數與變異數​

在這個問題中，我們將研究核密度*估計值（estimate）*的平均數與變異數，即分佈 p^(x)\hat{p}(x)。設 X={x1,…,xn}X = \{x_1, \dots, x_n\} 為樣本集合，k~(x)\tilde{k}(x) 為包含頻寬（bandwidth）的核函數。估計的機率分佈為

p^(x)=1n∑i=1nk~(x−xi).(5.5)\hat{p}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \tilde{k}(x - x_i). \tag{5.5}

假設核函數 k~(x)\tilde{k}(x) 具有零平均數和共變異數 HH，即

Ek~[x]=∫k~(x)xdx=0,(5.6)\mathbb{E}_{\tilde{k}}[x] = \int \tilde{k}(x) x dx = 0, \tag{5.6} covk~(x)=∫k~(x)(x−Ek~[x])(x−Ek~[x])Tdx=H.(5.7)\text{cov}_{\tilde{k}}(x) = \int \tilde{k}(x)(x - \mathbb{E}_{\tilde{k}}[x])(x - \mathbb{E}_{\tilde{k}}[x])^T dx = H. \tag{5.7}

(a) 證明分佈 p^(x)\hat{p}(x) 的平均數是 XX 的樣本平均數，

μ^=Ep^[x]=∫p^(x)xdx=1n∑i=1nxi.(5.8)\hat{\mu} = \mathbb{E}_{\hat{p}}[x] = \int \hat{p}(x)x dx = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i. \tag{5.8}