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先備知識

• 損失函數 (Loss Functions)
• 明可夫斯基損失 (Minkowski Loss)
• 函數繪圖 (Function Plotting)

逐步推導

1. 理解函數： 我們要繪製 $L_q(e) = |e|^q$，其中 $e = g(x) - y$ 是誤差。 我們需要繪製 $q \in \{0.2, 1, 2, 10\}$ 以及當 $q \rightarrow 0$ 時的極限情況。

2. 分析不同 $q$ 值的行為：

   • $q = 2$ (平方損失)： $L_2(e) = e^2$。這是一個標準的拋物線。它對大誤差 ($|e| > 1$) 施加重罰，而在接近零的地方非常平緩，這意味著對小誤差的懲罰非常小。
   • $q = 1$ (絕對損失)： $L_1(e) = |e|$。這是一個 V 形曲線。懲罰隨誤差呈線性增長。
   • $q = 10$： $L_{10}(e) = |e|^{10}$。這條曲線在 $|e| < 1$ 時極度平坦，而在 $|e| > 1$ 時增長得令人難以置信地快。它幾乎像一道屏障，強烈阻止任何大於 1 的誤差。
   • $q = 0.2$： $L_{0.2}(e) = |e|^{0.2}$。這條曲線在接近零時急劇上升，然後趨於平緩。與平方損失相比，它對小誤差的懲罰相對較大，但對大誤差的懲罰增長非常緩慢。
   • $q \rightarrow 0$ (相當於迴歸的 0-1 損失)： 當 $q \rightarrow 0$ 時，對於任何 $e \neq 0$，$|e|^q \rightarrow 1$。對於 $e = 0$，$0^q = 0$。因此，$\lim_{q \to 0} L_q(e)$ 趨近於一個指示函數 (indicator function)：如果 $e=0$ 則為 $0$，如果 $e \neq 0$ 則為 $1$。

3. 繪圖（概念描述）：

   • x 軸是誤差 $e = g(x) - y$。
   • y 軸是損失 $L_q$。
   • 所有曲線都通過 $(0,0)$、$(1,1)$ 和 $(-1,1)$。
   • 對於 $|e| < 1$：$q$ 值較小的曲線較高（例如， $|e|^{0.2} > |e|^1 > |e|^2$）。
   • 對於 $|e| > 1$：$q$ 值較大的曲線較高（例如， $|e|^{10} > |e|^2 > |e|^1$）。

4. 關於影響的評論：

   • 大的 $q$ ($q > 1$)： 嚴重懲罰離群值 (outliers)（大誤差）。模型將專注於避免犯大錯，即使這意味著會犯許多小錯。它對雜訊很敏感。
   • $q = 1$： 與 $q=2$ 相比，對離群值具有穩健性 (robust)。懲罰與誤差成正比。
   • 小的 $q$ ($0 < q < 1$)： 對離群值非常穩健，因為對大誤差的懲罰增長非常緩慢。然而，它對小誤差的懲罰相對較重。
   • $q \rightarrow 0$： 只在乎完全匹配。任何誤差，無論多小或多大，都會受到同等的懲罰（損失為 1）。