Answer ZH

先備知識 (Prerequisites)

• 貝氏定理 (Bayes' Theorem)
• 最大後驗機率 (Maximum A Posteriori, MAP) 決策規則
• 最小錯誤機率 (Minimum Probability of Error)

逐步推導 (Step-by-Step Derivation)

為了最小化錯誤機率，我們應該使用最大後驗機率 (MAP) 決策規則。這意味著我們應該選擇能使後驗機率 $p(s | r = H)$ 最大化的結果 $s$。

我們需要比較 $p(s = H | r = H)$ 和 $p(s = T | r = H)。

根據貝氏定理： $p(s = H | r = H) = \frac{p(r = H | s = H) p(s = H)}{p(r = H)}$ $p(s = T | r = H) = \frac{p(r = H | s = T) p(s = T)}{p(r = H)}$

因為分母 $p(r = H)$ 對兩者都是相同的，我們只需要比較分子： $p(r = H | s = H) p(s = H) \quad \text{vs} \quad p(r = H | s = T) p(s = T)$

從問題描述中，我們知道先驗機率：

• $p(s = H) = \alpha$
• $p(s = T) = 1 - \alpha$

我們也知道報告的條件機率：

• $p(r = H | s = H) = 1 - p(r = T | s = H) = 1 - \theta_1$
• $p(r = H | s = T) = \theta_2$

將這些代入我們的比較中，如果滿足以下條件，我們應該猜測正面 ($H$)： $(1 - \theta_1) \alpha > \theta_2 (1 - \alpha)$

否則，我們應該猜測反面 ($T$)。（如果它們完全相等，猜測任何一個都會產生相同的錯誤機率）。