Question ZH

問題 6.4 擲硬幣 (Coin Tossing)

在這個問題中，我們將考慮傳統的擲硬幣機率場景。然而，我們將考慮兩個變體。首先，硬幣是不公正的。用 $s$ 表示擲硬幣的結果（$H$ 或 $T$），我們有 $p(s = H) = \alpha, \alpha \in [0, 1]. \quad (6.5)$ 其次，你沒有直接觀察到硬幣，而是必須依賴一個朋友來報告投擲的結果。不幸的是，你的朋友並不可靠，當結果是反面 (tails) 時，他有時會報告正面 (heads)，反之亦然。用 $r$ 表示報告，我們有 $p(r = T | s = H) = \theta_1, \quad (6.6)$ $p(r = H | s = T) = \theta_2, \quad (6.7)$ 其中 $\theta_1, \theta_2 \in [0, 1]$。你的任務是，根據你朋友的報告，猜測投擲的結果。

(a) 假設你的朋友報告正面 (heads)，在最小化錯誤機率 (minimum probability of error) 的意義上，最佳的決策函數是什麼？也就是說，你什麼時候應該猜正面，什麼時候應該猜反面？