Answer ZH

先備知識 (Prerequisites)

• 代數化簡 (Algebraic Simplification)
• 機率不等式 (Probability Inequalities)

逐步推導 (Step-by-Step Derivation)

從 (a) 部分可知，決策規則是如果滿足以下條件則猜測正面： $(1 - \theta_1) \alpha > \theta_2 (1 - \alpha)$

給定條件 $\theta_1 = \theta_2 = \theta$，我們將 $\theta$ 代入不等式中： $(1 - \theta) \alpha > \theta (1 - \alpha)$

現在，我們化簡這個不等式： $\alpha - \theta \alpha > \theta - \theta \alpha$

兩邊同時加上 $\theta \alpha$： $\alpha > \theta$

因此，當錯誤率對稱時（$\theta_1 = \theta_2 = \theta$），最佳決策規則簡化為：如果正面的先驗機率 ($\alpha$) 嚴格大於朋友報告錯誤的機率 ($\theta$)，則猜測正面。