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直覺理解

想像一下，你正試圖將一個新的數據點 $x$ 分類到幾個類別中的一個。為了做出最佳決策，你想為每個類別計算一個「分數」，然後簡單地選擇分數最高的那個。

這個問題表明，當所有類別的數據分佈方式完全相同時（它們共享相同的「形狀」或協方差矩陣 $\Sigma$），計算這個分數會變得出奇地簡單！

我們不需要處理高斯分佈複雜的鐘形曲線公式，數學推導會簡化成一個基本的直線方程式： $g_j(x) = w_j^T x + b_j$

以下是這個簡單方程式兩個部分的含義：

1. 權重 ($w_j$)：可以把 $w_j$ 想像成類別 $j$ 的「模板」。它指向類別 $j$ 的中心 ($\mu_j$) 的方向，但會根據數據的形狀 ($\Sigma^{-1}$) 進行調整。當你計算 $w_j^T x$ 時，你基本上是在測量你的新數據點 $x$ 與這個模板的契合程度。$x$ 越接近類別 $j$ 的中心，這部分的分數就越高。
2. 偏差 ($b_j$)：這是分數的基準調整。它有兩個作用：
   • 距離懲罰：$-\frac{1}{2} \mu_j^T \Sigma^{-1} \mu_j$ 這一項會懲罰那些中心距離原點非常遠的類別。
   • 受歡迎程度獎勵：$\log \pi_j$ 這一項會給予整體上更常見的類別（較高的先驗機率 $\pi_j$）一個分數提升。如果你不確定，猜測更受歡迎的類別會更安全！

總而言之，因為所有類別的數據「形狀」都相同，複雜的高斯數學計算會互相抵消，留給我們一個簡單、優雅的線性評分系統。