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Question ZH

問題 6.6 具有共同協方差的高斯分類器

在這個問題中，我們將推導具有共同協方差的高斯分類器的貝葉斯決策規則 (BDR)，並解釋由此產生的決策邊界。假設 y∈{1,…,C}y \in \{1, \dots, C\} 為類別，其先驗機率為 p(y=j)=πjp(y = j) = \pi_j，x∈Rdx \in \mathbb{R}^d 為測量值，其類別條件密度為具有共享協方差的高斯分佈，p(x∣y=j)=N(x∣μj,Σ)p(x|y = j) = \mathcal{N}(x|\mu_j, \Sigma)。

(a) 證明使用 0-1 損失函數的 BDR 為： g(x)∗=argmaxjgj(x),(6.16)g(x)^* = \text{argmax}_j g_j(x), \quad (6.16) 其中每個類別的 gj(x)g_j(x) 是 xx 的線性函數， gj(x)=wjTx+bj,(6.17)g_j(x) = w_j^T x + b_j, \quad (6.17) wj=Σ−1μj,bj=−12μjTΣ−1μj+log⁡πj.(6.18)w_j = \Sigma^{-1} \mu_j, \quad b_j = -\frac{1}{2} \mu_j^T \Sigma^{-1} \mu_j + \log \pi_j. \quad (6.18)