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設定判別函數相等：
決策邊界由類別 i 和類別 j 的分數相同的條件定義：
gi(x)=gj(x)
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代入線性形式：
使用 (a) 部分的結果，代入 gi(x) 和 gj(x) 的線性方程式：
wiTx+bi=wjTx+bj
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重排為超平面形式：
將所有包含 x 的項移到一邊，常數項移到另一邊，以符合標準的超平面方程式 wTx+b=0：
(wi−wj)Tx+(bi−bj)=0
令 w=wi−wj 且 b=bi−bj。
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推導 w 的表達式：
代入 (a) 部分中 wi 和 wj 的定義：
w=Σ−1μi−Σ−1μj
提出 Σ−1：
w=Σ−1(μi−μj)
這與所需的 w 表達式相符。
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推導 b 的表達式：
代入 (a) 部分中 bi 和 bj 的定義：
b=(−21μiTΣ−1μi+logπi)−(−21μjTΣ−1μj+logπj)
將二次項和對數項分組：
b=−21(μiTΣ−1μi−μjTΣ−1μj)+(logπi−logπj)
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簡化對數項：
使用對數的商法則 (logA−logB=logBA)：
logπi−logπj=logπjπi
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簡化二次項：
我們需要證明 μiTΣ−1μi−μjTΣ−1μj=(μi+μj)TΣ−1(μi−μj)。
讓我們展開這個等式的右邊：
(μi+μj)TΣ−1(μi−μj)=(μiT+μjT)(Σ−1μi−Σ−1μj)
=μiTΣ−1μi−μiTΣ−1μj+μjTΣ−1μi−μjTΣ−1μj
由於 Σ 是對稱的協方差矩陣，它的反矩陣 Σ−1 也是對稱的。因此，純量值 μiTΣ−1μj 等於其轉置 μjTΣ−1μi。
這意味著中間的兩項會互相抵消：
−μiTΣ−1μj+μjTΣ−1μi=0
剩下：
(μi+μj)TΣ−1(μi−μj)=μiTΣ−1μi−μjTΣ−1μj
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最終代入：
將簡化後的對數項和二次項代回 b 的方程式中：
b=−21(μi+μj)TΣ−1(μi−μj)+logπjπi
這與所需的 b 表達式相符，證明完畢。