Explain ZH

直覺理解

在 (b) 部分，我們找到了兩個類別之間邊界的方程式：$w^T x + b = 0$。雖然在數學上是正確的，但它有點抽象。(c) 部分要求我們將這個方程式改寫成一種更容易視覺化的形式：$w^T(x - x_0) = 0$。

可以把它想像成描述一堵牆。你可以用一個複雜的數學公式來描述一堵牆，或者你可以簡單地說：「這堵牆精確地穿過這個特定的點 ($x_0$)，並且它面向這個特定的方向 ($w$)。」

讓我們分解這兩個部分的含義：

1. 方向 ($w$)

向量 $w$ 是「法向量」。想像你站在邊界上；$w$ 是一個從邊界筆直向外指的箭頭，直接指向類別 $i$。它告訴我們邊界是如何傾斜的。它是透過觀察兩個類別中心之間的差異 ($\mu_i - \mu_j$) 並根據數據的形狀 ($\Sigma^{-1}$) 進行調整來計算的。

2. 錨點 ($x_0$)

這是非常有趣的部分。$x_0$ 是一個精確位於邊界上的特定點。讓我們看看它的公式： $x_0 = \text{中點} - \text{基於受歡迎程度的偏移}$

• 中點：第一部分是 $\frac{\mu_i + \mu_j}{2}$。這正好是類別 $i$ 中心和類別 $j$ 中心的正中間。如果兩個類別一樣常見，邊界就會正好穿過這個中點。
• 偏移：第二部分涉及 $\log \frac{\pi_i}{\pi_j}$。這是一場基於哪個類別更受歡迎（先驗機率）的「拔河比賽」。
  • 如果類別 $i$ 和類別 $j$ 出現的機率相等，$\log(1) = 0$，所以沒有偏移。錨點停留在中間。
  • 如果類別 $i$ 比類別 $j$ 常見得多，對數項為正。因為公式中有一個負號，錨點 $x_0$ 會被推離類別 $i$ 並推向類別 $j$。

為什麼它會向較不常見的類別偏移？ 想像你是一名醫生，正在診斷一種罕見疾病（類別 $j$）和普通感冒（類別 $i$）。如果一個病人的症狀剛好處於邊界狀態，你更有可能猜測是普通感冒，僅僅是因為它常見得多。透過將決策邊界移近罕見疾病的中心，你實際上是在擴大普通感冒的「領土」。一個數據點必須非常接近罕見疾病的中心，才會被歸類為罕見疾病。先驗機率會移動邊界，為機率較大的類別提供更大的決策區域。